節(jié)點(diǎn)分析

　　在電路分析里，節(jié)點(diǎn)分析（nodal analysis）是一種用電路的節(jié)點(diǎn)電壓來分析電路的一種方法。

　　節(jié)點(diǎn)分析與網(wǎng)目分析是分析電路所使用的兩種主要方法?；鶢柣舴螂娏鞫膳c基爾霍夫電壓定律分別是節(jié)點(diǎn)分析與網(wǎng)目分析的基礎(chǔ)理論。根據(jù)基爾霍夫電流定律，節(jié)點(diǎn)分析會(huì)對(duì)于每一節(jié)點(diǎn)給出一個(gè)方程式，要求所有進(jìn)入某節(jié)點(diǎn)的支路電流的總和等于所有離開這節(jié)點(diǎn)的支路電流的總和，而支路電流則表示為節(jié)點(diǎn)電壓的線性函數(shù)。注意到每一條支路的本構(gòu)關(guān)系（constitutive relation）必須給出支路電流與節(jié)點(diǎn)電壓之間的線性函數(shù)關(guān)系，稱為“導(dǎo)納表現(xiàn)”。假設(shè)每一條支路的本構(gòu)關(guān)系都有導(dǎo)納表現(xiàn)，則可以做節(jié)點(diǎn)分析。例如，對(duì)于電阻為{\displaystyle R}R、電導(dǎo)為{\displaystyle G=1/R}G=1/R的電阻器，這關(guān)系以方程式表達(dá)為{\displaystyle I_{branch}=(V_{node1}-V_{node2})*G}{\displaystyle I_{branch}=(V_{node1}-V_{node2})*G}；其中，{\displaystyle I_{branch}}{\displaystyle I_{branch}}是支路電流，{\displaystyle V_{node1}}{\displaystyle V_{node1}}、{\displaystyle V_{node2}}{\displaystyle V_{node2}}分別為電阻器兩端節(jié)點(diǎn)的電壓。

　　對(duì)于任意電路，節(jié)點(diǎn)分析會(huì)給出一組簡(jiǎn)潔的方程式，假若不龐大，可以手工解析，或著可以應(yīng)用線性代數(shù)理論，然后使用電腦計(jì)算結(jié)果。由于節(jié)點(diǎn)分析給出的聯(lián)立方程式相當(dāng)簡(jiǎn)潔，很多電路模擬程式（例如，集成電路模擬程式）以節(jié)點(diǎn)分析為基礎(chǔ)。假若某支路的本構(gòu)關(guān)系不具有導(dǎo)納表現(xiàn)，則可以將節(jié)點(diǎn)分析延伸，使用修正節(jié)點(diǎn)分析（modified nodal analysis）。

　　對(duì)于簡(jiǎn)單的線性元件案例，使用節(jié)點(diǎn)分析方法解析相當(dāng)容易。對(duì)于比較復(fù)雜的非線性電路，也可以使用節(jié)點(diǎn)分析，只要應(yīng)用牛頓法，將非線性問題改變?yōu)橐粋€(gè)序列的線性問題。

分析步驟

• 　　標(biāo)出電路里所有相連接的導(dǎo)線，設(shè)定每一群相連接的導(dǎo)線為單獨(dú)節(jié)點(diǎn)。在相鄰的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間，必定有一個(gè)元件。

• 　　選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)。設(shè)定這參考點(diǎn)為接地點(diǎn)，電位為零，以接地線或底架標(biāo)示于電路圖。這選擇不會(huì)影響結(jié)果，但可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。通常，選擇連接最多支路的節(jié)點(diǎn)可以使解析更加簡(jiǎn)易。

• 　　對(duì)于每一個(gè)未知電壓節(jié)點(diǎn)，按照基爾霍夫電流定律，寫出一個(gè)方程式，要求所有流入這節(jié)點(diǎn)的支路電流的總和等于所有流出這節(jié)點(diǎn)的支路電流的總和。特別注意，節(jié)點(diǎn)的電壓指的是節(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的電壓差。

• 　　假若有電壓源處于兩個(gè)未知電壓節(jié)點(diǎn)之間，則可合并這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為單獨(dú)一個(gè)“超節(jié)點(diǎn)”（supernode），將進(jìn)入與離開這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流一同按照基爾霍夫電流定律處理。另外，再添加一個(gè)電壓方程式，寫出這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓關(guān)系。

• 　　解析這一組聯(lián)立方程式，尋求每一個(gè)未知電壓。

簡(jiǎn)單實(shí)例

基本案例

　　如右圖基本電路案例所示，{\displaystyle V_{1}}V_{1}是唯一的未知電壓節(jié)點(diǎn)。連接于這節(jié)點(diǎn)有三個(gè)支路，因此必須計(jì)算三個(gè)支路電流。假定這些電流的方向都是朝著離開節(jié)點(diǎn)的方向。

　　通過電阻器{\displaystyle R_{1}}R_{1}的支路電流：{\displaystyle I_{1}=(V_{1}-V_{S})/R_{1}}{\displaystyle I_{1}=(V_{1}-V_{S})/R_{1}}。

　　通過電阻器{\displaystyle R_{2}}R_{2}的支路電流：{\displaystyle I_{2}=V_{1}/R_{2}}{\displaystyle I_{2}=V_{1}/R_{2}}。

　　通過電流源{\displaystyle I_{S}}I_{S}的支路電流：{\displaystyle I_{3}=-I_{S}}{\displaystyle I_{3}=-I_{S}}。

　　應(yīng)用克希荷夫電流定律，

　　{\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}={\frac{V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac{V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}{\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}={\frac{V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac{V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}。

　　稍加運(yùn)算，可以得到

　　{\displaystyle V_{1}=\left({\frac{V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)\left({\frac{1}{R_{1}}}+{\frac{1}{R_{2}}}\right)^{-1}}{\displaystyle V_{1}=\left({\frac{V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)\left({\frac{1}{R_{1}}}+{\frac{1}{R_{2}}}\right)^{-1}}。

　　將所有變量的數(shù)值代入，可以得到答案

　　{\displaystyle V_{1}=\left({\frac{5{\text{V}}}{100\,\Omega}}+20{\text{mA}}\right)\left({\frac{1}{100\,\Omega}}+{\frac{1}{200\,\Omega}}\right)^{-1}\approx 4.667{\text{V}}}{\displaystyle V_{1}=\left({\frac{5{\text{V}}}{100\,\Omega}}+20{\text{mA}}\right)\left({\frac{1}{100\,\Omega}}+{\frac{1}{200\,\Omega}}\right)^{-1}\approx 4.667{\text{V}}}。

超節(jié)點(diǎn)案例

　　如右邊電路圖所示，{\displaystyle V_{1}}V_{1}、{\displaystyle V_{2}}V_{2}是兩個(gè)未知電壓。由于電壓源{\displaystyle V_{B}}{\displaystyle V_{B}}有一端連接于接地點(diǎn)，電壓{\displaystyle V_{3}}V_{3}等于{\displaystyle V_{B}}{\displaystyle V_{B}}。

　　注意到通過電壓源{\displaystyle V_{A}}V_{A}的電流無法直接計(jì)算出來。因此，不能寫出{\displaystyle V_{1}}V_{1}或{\displaystyle V_{2}}V_{2}節(jié)點(diǎn)的電流方程式。但是，離開{\displaystyle V_{2}}V_{2}節(jié)點(diǎn)并且通過電壓源{\displaystyle V_{A}}V_{A}的電流必須進(jìn)入{\displaystyle V_{1}}V_{1}節(jié)點(diǎn)。雖然這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)不能單獨(dú)解析，假若將兩個(gè)節(jié)點(diǎn)合并起來成為超節(jié)點(diǎn)，就可以應(yīng)用基爾霍夫電流定律，設(shè)定進(jìn)入和離開的電流的代數(shù)和等于零：

　　{\displaystyle{\frac{V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac{V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac{V_{2}}{R_{3}}}=0}{\displaystyle{\frac{V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac{V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac{V_{2}}{R_{3}}}=0}。

　　再添加一個(gè){\displaystyle V_{1}}V_{1}與{\displaystyle V_{2}}V_{2}之間的關(guān)系式：

　　{\displaystyle V_{1}=V_{2}+V_{A}}{\displaystyle V_{1}=V_{2}+V_{A}}。

　　經(jīng)過一番運(yùn)算，可以得到

　　{\displaystyle V_{2}={\frac{(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}{\displaystyle V_{2}={\frac{(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}。

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